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双曲线中点弦存在性的探讨

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双曲线中点弦存在性的探讨

双曲线中点弦存在性的探讨 求过定点的双曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法 (1)点差法,即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,从而求出直线方程. (2)联立法,即将直线方程与双曲线方程联立,利用韦达定理与判别式求解. 无论使用点差法还是联立法,都要运用 来判定中点弦是否存在,而这完全取决于定点所在的区域.现分析如下 利用双曲线及其渐近线,可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域(如图). 当 在区域Ⅰ内时,有 . 当 在区域Ⅱ内时,有 . 当 在区域Ⅲ内时,有 . 利用上述结论,可以证明 当 在区域Ⅰ时,以它为中点的弦不存在,而在区域Ⅱ、Ⅲ时,这样的弦是存在的.证明过程如下 设双曲线 的弦 两端点为 , ,中点为 ,则 , . 运用点差法得出 的斜率 . ① 令直线 的方程为 , 即 . ② 把②代入 ,整理得 . . ③ 把①代入③,整理得 . 若 在Ⅱ、Ⅲ区域内,则 或 ,这时 ,中点弦存在; 若 在区域Ⅰ内,则 ,这时 ,中点弦不存在. 例 过点 作双曲线 的弦 ,使 点为 的中点,则 的方程为( ) (A) (B) (C) (D)不存在 分析 将 及 联立得 .此时, ,则选(D). 若运用上述区域法,只要判断 在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论,故可直接选(D).

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