2017年全国初中数学竞赛试题及答案

第 1 页 共 5 页 2017 年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为A，B，C ，D的四 个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、 多填或错填都得 0 分） 1．设非零实数a，b，c，满足 a＋2b+3c＝0 2a＋ 3b+4c＝0 则 ab+bc+ca a2+b2+c2 的值为（） （A）— 1 2 （B）0 （C）1 2 （D）1 2．已知a，b，c 是实常数，关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个非零实根x1，x2，则下列关于x 的一元二次方程中，以 1 x12， 1 x22为两个实根的是（ ） （A）c2x2+(b 2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－ 2ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－ 2ac)x—a2=0 3．如图， 在 Rt△ABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点， CD⊥AB，垂足为 D，DE⊥OC，垂足为 E，若 AD， DB，CD 的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC 的长度中，不一定 ．．．是有理数的为（ ） （A）OD （B） OE （C）DE （D）AC 4．如图，已知△ ABC 的面积为24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上， 且 BC=4CF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（） （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：xy=3x 3y+3x2y2+xy3+45 (x+1) 3+(y+1)3—60， 且xyz= xyz（），则2013201232⋯的值为（） （A） 607 967 （B） 1821 967 （C） 5463 967 （D）16389 967 二、填空题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 6．设 a= 3 3，b 是 a2的小数部分，则 (b+2) 3 的值为 ____________． 7．如图，点D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点，直线BD 与 CE 交于点 F，已知△ CDF，△ BFE， △BCF 的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ____________． 8．已知正整数a，b， c 满足 a+b2—2c— 2=0，3a2—8b+c=0，则 abc 的最大值为 __________． 9．实数 a，b，c，d 满足：一元二次方程x2+cx+d=0 的两根为 a，b，一元二次方程x2+ax+b=0 的两根为 c，d，则所有满足条件的数组（a，b， c，d）为 ___________________________________ ． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4 元，圆珠笔每支售7 元．开始时他有铅笔和圆珠笔 共 350 支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013 元，则他至少卖出了__________ 支圆珠笔． 三、解答题（共4 题，每题 20分，共 80 分） 11．如图，抛物线y=ax 2+bx—3，顶点为 E，该抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且 OB=OC=3OA，直线 y=—1 3x 2+1 与 y轴交于点 D，求∠ DBC－∠ CBE． A D B C O y x E A B C F D E （第 4 题) A B C E D （第 7 题) A B C O D E （第 3 题) 第 2 页 共 5 页 12．设△ ABC 的外心，垂心分别为O，H，若 B，C，H，O 共圆，对于所有的△ABC，求∠ BAC 所有可 能的度数． 13．设 a，b，c 是素数，记x=b+c－a，y=c+a－ b，z=a+b－c，当 z 2=y， x－y=2 时，a，b，c能否 构成三角形的三边长？证明你的结论． 14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7 整除，那么称M 为 m 的“魔术数” （例 如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数86415 能被 7 整除，所以称86 为 415 的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，⋯， an，满足对任意一个正整数 m，在 a1，a2，⋯， an中都至少有一个为m的魔术数． 第 3 页 共 5 页 2017 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1． 【答案】 A 【解答】由已知得(234 )(23 )0abcabcabc，故 2 ()0abc．于是 2221 () 2 abbccaabc，所以 222 1 2 abbcca abc ． 2． 【答案】 B 【解答】由于 2 0axbxc是关于x的一元二次方程， 则0a． 因为 12 b xx a ， 12 c x x a ， 且 12 0 x x，所以0c，且 22 1212 22222 1212 ()2112xxx xbac xxx xc ， 2 222 12 11a xxc ， 于 是 根 据 方 程 根 与 系 数 的 关 系 ， 以 2 1 1 x ， 2 2 1 x 为 两 个 实 根 的 一 元 二 次 方 程 是 22 2 2 2 0 baca xx cc ，即 2222 (2)0c xbac xa． 3． 【答案】 D 【解答】 因 AD，DB，CD 的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝ OC＝ 2 ADBD 是有理数．于是，OD＝OA－ AD 是有理数． 由 Rt△DOE∽Rt△COD ，知 2 OD OE OC ， ·DC DO DE OC 都是有 理数，而 AC＝·AD AB不一定是有理数． 4． 【答案】 C 【解答】 因为 DCFE 是平行四边形，所以DE //CF，且 EF//DC． 连接 CE，因为 DE//CF，即 DE//BF，所以 S△DEB = S△DEC， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积． 连接 AF，因为 EF//CD，即 EF//AC，所以 S△ACE = S△ACF． 因为 4BCCF，所以 S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为 6． 5． 【答案】 C 【解答】 设2013 20124mL，则 2013 2012433mL 32 32 33392745 9 3316460 mmm mmm ， 于是2013 20123292L 3223 33 39239292455463 10360967 ． 二、填空题 6． 【答案】9 【解答】 由于 2 123aa，故 3 2 292ba，因此 333 (2)(9)9b． 7． 【答案】 204 13 【解答】 如图，连接AF，则有： 45 = 3 AEFAEFBFEBCF AFDAFDCDF SSSBFS SSFDS ， 35 4 AFDAFDCDFBCF AEFAEFBEF SSSCFS SSFES ， 解得 108 13 AEF S， 96 13 AFD S． 所以，四边形AEFD 的面积是 204 13 ． 8． 【答案】2013 【解答】 由已知 2 220abc， 2 380abc消去