2024年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)
2024年江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式: 圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl, 其中c是圆柱底面的周长,l为母线长. 圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积,h为高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合,,则 . 【答案】 2.已知复数(i为虚数单位),则z的实部为 . 【答案】21 3.右图是一个算法流程图,则输出的n的值是 . 【答案】5 4.从这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的 概率是 . 【答案】 5.已知函数与,它们的图象有一个横坐标为 的交点,则的值是 . 【答案】 6.为了了解一片经济林的生长状况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株 树木的底部周长小于100 cm. 【答案】24 7.在各项均为正数的等比数列中,若,, 则的值是 . 【答案】4 8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为,体积分别为,若它们的侧面积相等,且,则的值是 . 【答案】 9.在平面直角坐标系xOy中,直线被圆截得的弦长为 . 【答案】 10.已知函数,若对随意,都有成立,则实数m的取值范围是 . 【答案】 11.在平面直角坐标系xOy中,若曲线(为常数)过点,且该曲线在点P处的切线与直线平行,则的值是 . 【答案】 12.如图,在平行四边形ABCD中,已知,,,则的 值是 . 【答案】22 13.已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 . 【答案】 14.若的内角满意,则的最小值是 . 【答案】 二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14 分)已知,. (1)求的值; (2)求的值. 【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能 力. 满分14分. (1)∵, ∴ ; (2)∵ ∴. 16.(本小题满分14 分)如图,在三棱锥中,分别为棱的中点.已知. (1)求证:直线PA∥平面DEF; (2)平面BDE⊥平面ABC. 【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系, 考查空间想象实力和推理论证实力.满分14分. (1)∵为中点 ∴DE∥PA ∵平面DEF,DE平面DEF ∴PA∥平面DEF (2)∵为中点 ∴ ∵为中点 ∴ ∴ ∴,∴DE⊥EF ∵,∴ ∵ ∴DE⊥平面ABC ∵DE平面BDE, ∴平面BDE⊥平面ABC. 17.(本小题满分14 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点B的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结. (1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程; (2)若,求椭圆离心率e的值. 【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础学问,考查运 算求解实力. 满分14分. (1)∵,∴ ∵,∴,∴ ∴椭圆方程为 (2)设焦点 ∵关于x轴对称,∴ ∵三点共线,∴,即① ∵,∴,即② ①②联立方程组,解得 ∴ ∵C在椭圆上,∴, 化简得,∴, 故离心率为 18.(本小题满分16分)如图,为爱护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形爱护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;爱护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上随意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),. (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时,圆形爱护区的面积最大? 解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础学问,考查建立数学模型及运用数学学问解决实际问题的实力.满分16分. 解法一: (1) 如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60),C(170, 0), 直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-. 又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=. 设点B的坐标为(a,b),则k BC= k AB= 解得a=80,b=120. 所以BC=. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设爱护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由条件知,直线BC的方程为,即 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r, 即. 因为O和A到圆M上随意一点的距离均不少于80 m, 所以即解得 故当d=10时,最大,即圆面积最大. 所以当OM = 10 m时,圆形爱护区的面积最大. 解法二:(1)如图,延长OA, CB交于点F. 因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=,cos∠FCO=. 因为OA=60,OC=170,所以OF=OC tan∠FCO=. CF=,从而. 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO==, 又因为AB⊥BC,所以BF=AF cos∠AFB==,从而BC=CF-BF=150. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设爱护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半 径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60). 因为OA⊥OC,所以sin∠CFO =cos∠FCO, 故由(1)知,sin∠CFO =所以. 因为O和A到圆M上随意一点的距离均不少于80 m, 所以即解得 故当d=10时,最大,即圆面积最大. 所以当OM = 10 m时,圆形爱护区的面积最大. 19.(本小题满分16分)已知函数其中e是自然对数的底数. (1)证明:是上的偶函数; (2)若关于x的不等式在上恒成立,求实数m的取值范围; (3)已知正数a满意:存在,使得成立.试比较与的大小,并证明你的结论. 【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础学问,考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的实力.满分16分. (1),,∴是上的偶函数 (2)由题意,,即 ∵,∴,即对恒成立 令,则对随意恒成立 ∵,当且仅当时等号成立 ∴ (3),当时,∴在上单调增 令, ∵,∴,即在上单调减 ∵存在,使得,∴,即 ∵ 设,则 当时,,单调